Język matematyczny mechaniki kwantowej od prawie stulecia opiera się na liczbach zespolonych, mimo że jego założyciel, Erwin Schrödinger, nigdy nie był w pełni zadowolony z takiego wyboru. Liczby zespolone to wielkości matematyczne, które zawierają składnik urojony i są powszechnie stosowane w celu uproszczenia obliczeń w fizyce. Nowe badanie teoretyczne powraca do jednego z najwcześniejszych pomysłów Schrödingera i dowodzi, że mechanikę kwantową można opisać wyłącznie za pomocą liczb rzeczywistych, czyli zwykłych liczb bez części urojonych, przy jednoczesnym odtwarzaniu wszystkich znanych przewidywań dotyczących energii. W pracy powraca się do w dużej mierze przeoczonego równania falowego czwartego rzędu, równania obejmującego wyższe poziomy zmian matematycznych, zaproponowanego przez samego Schrödingera w 1926 r., i w jaśniejszy sposób bada jego fizyczne znaczenie i praktyczne konsekwencje.

Badanie przeprowadzili profesor Nicos Makris z Southern Methodist University i profesor Gary Dargush z Uniwersytetu w Buffalo. Pokazują, że oryginalne równanie Schrödingera czwartego rzędu o wartościach rzeczywistych, będące matematycznym opisem zachowania cząstek jak fal, prowadzi do dokładnie tych samych wartości energii, co znane równanie Schrödingera o wartościach zespolonych drugiego rzędu, którego uczy się dziś w podręcznikach. Jednak równanie o wartościach rzeczywistych przewiduje również dodatkowy zestaw wartości energii, które odzwierciedlają znane. Wyniki badań opublikowano w recenzowanym czasopiśmie Physics Open.

Według profesora Makrisa motywacja do ponownego rozważenia tego pomysłu pochodzi bezpośrednio z pism Schrödingera. Schrödinger był zaniepokojony dużym poleganiem na liczbach zespolonych, pisząc, że „użycie złożonej funkcji falowej” jest „pewną prymitywnością”. Funkcja falowa jest narzędziem matematycznym opisującym prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w określonym miejscu. Zasugerował, że zamiast tego stan fizyczny systemu można przedstawić za pomocą rzeczywistej funkcji i tego, jak zmienia się ona w czasie. W niniejszym badaniu naukowcy powracają do tego wczesnego sformułowania i sprawdzają jego przewidywania, korzystając z nowoczesnych narzędzi matematycznych i metod obliczeniowych, pozostając wierni oryginalnemu rozumowaniu Schrödingera.

Profesor Makris i profesor Dargush wykazali, że równanie czwartego rzędu poprawnie odwzorowuje poziomy energii dobrze znanych układów kwantowych, w tym oscylatora harmonicznego – prostego modelu często porównywanego do masy na sprężynie, cząstek zamkniętych w prostych studniach energetycznych, czyli obszarach, które wychwytują cząstki podobnie jak miska zatrzymuje cząstki w marmurze, oraz atomu wodoru – najprostszym atomie złożonym z jednego protonu i jednego elektronu. Układy te są często używane jako podstawowe przykłady w fizyce, ponieważ ich zachowanie jest dobrze poznane. Dla każdego dodatniego poziomu energii przewidywanego przez standardowe równanie Schrödingera wersja o wartościach rzeczywistych daje pasujący ujemny odpowiednik. Jak wyjaśnił profesor Dargush, „Równanie fali materii Schrödingera czwartego rzędu o wartościach rzeczywistych… daje dokładne wartości własne równania fali materii Schrödingera drugiego rzędu o wartościach zespolonych wraz z równą liczbą ujemnych, lustrzanych wartości własnych”. Wartości własne odnoszą się tutaj do dozwolonych wartości energii, jakie może mieć układ kwantowy.

Aby dojść do tego wniosku, profesor Makris i profesor Dargush opracowali strukturę wariacyjną – podejście matematyczne, które znajduje rozwiązania poprzez minimalizację lub równoważenie ilości i które przekształca równania falowe do postaci, którą można rozwiązać przy użyciu wyłącznie liczb rzeczywistych. W uproszczeniu takie podejście sprawia, że ​​problem przypomina obliczenia stosowane już w inżynierii i fizyce klasycznej. Równania te zostały następnie rozwiązane numerycznie, czyli za pomocą komputerów, przy użyciu metody, która dzieli problem na małe, łatwe do opanowania części, umożliwiając komputerom obliczanie dokładnych wyników nawet w przypadku nagłej zmiany krajobrazu energetycznego. Wyniki liczbowe ściśle odpowiadały znanym rozwiązaniom, potwierdzając, że opis o wartościach rzeczywistych działa w kilku różnych układach kwantowych.

Jedną uderzającą cechą równania czwartego rzędu jest to, że wyraźnie zależy ono od tego, jak krajobraz energii zmienia się z miejsca na miejsce, odnosząc się do tego, jak siły działające na cząstkę zmieniają się w przestrzeni, a nie tylko od jej ogólnego kształtu. Powszechnie stosowane równanie Schrödingera pozwala uniknąć tej złożoności, co ułatwia jego zastosowanie. Profesor Makris i profesor Dargush wyjaśniają, że ta prostota ma swoją cenę. Jak zauważył profesor Makris: „Klasyczne równanie fali materii o wartościach zespolonych Schrödingera drugiego rzędu… jest prostszym opisem fali materii, ponieważ nie uwzględnia przestrzennych pochodnych potencjału, kosztem pominięcia ujemnych, lustrzanych poziomów energii”. Pochodne przestrzenne opisują, jak wielkość zmienia się wraz z położeniem. Jest to koncepcja podobna do tego, jak stromość opisuje zmiany w zboczu wzgórza.

Fizyczne znaczenie tych ujemnych poziomów energii jest nadal niejasne. Profesor Makris i profesor Dargush porównują tę sytuację do klasycznych problemów z drganiami w inżynierii, gdzie równania matematyczne często przewidują dodatkowe rozwiązania, które nie mają fizycznego znaczenia i dlatego są ignorowane. To, czy przewidywane tutaj ujemne poziomy energii kwantowej odpowiadają rzeczywistym efektom fizycznym, czy też należy je traktować w podobny sposób, pozostaje otwartym pytaniem, na które w badaniu nie podjęto próby odpowiedzi.

Zamiast tego praca skupia się na pokazaniu, że sama matematyka jest solidna i że obliczenia można przeprowadzić rzetelnie. Wykazując, że opis w pełni oparty na liczbach rzeczywistych może odtworzyć wszystkie znane wartości energii kwantowej, badanie podważa powszechne przekonanie, że liczby zespolone są niezbędne w mechanice kwantowej. Zwraca także ponownie uwagę na kwestię, którą sam Schrödinger poruszył, ale ostatecznie odłożył na bok prawie sto lat temu.

Podsumowując, zespół profesora Makrisa i profesora Dargusha argumentuje, że nierelatywistyczna mechanika kwantowa – wersja teorii kwantowej mająca zastosowanie do prędkości codziennych, a nie ruchu z prędkością bliską prędkości światła – pozwala na opis o wartościach rzeczywistych, który jest matematycznie kompletny i dokładny numerycznie. Chociaż interpretacja dodatkowych poziomów energii zwierciadeł pozostaje nierozwiązana, badanie zapewnia solidną podstawę do dalszych badań. Jak podkreślają naukowcy, „istnieje wartościowy opis nierelatywistycznej mechaniki kwantowej w powiązaniu z istnieniem ujemnych, lustrzanych poziomów energii”, co stanowi zaproszenie do nowej dyskusji na temat podstawowych matematycznych podstaw teorii kwantowej.

Odniesienie do czasopisma

Makris N., Dargush GF, „Opis mechaniki kwantowej o wartościach rzeczywistych za pomocą równania fali materii czwartego rzędu Schrödingera”. Fizyka otwarta, 2025. DOI: https://doi.org/10.1016/j.physo.2025.100262

O Autorach

Profesor Nicos Makrisuznany na arenie międzynarodowej ekspert w dziedzinie inżynierii strukturalnej, trzęsień ziemi i mechaniki strukturalnej, jest profesorem stulecia rodziny Addy w dziedzinie inżynierii lądowej na Southern Methodist University w Dallas w Teksasie. Makris uzyskał stopień doktora (1992) i tytuł magistra (1990) na Uniwersytecie Stanowym Nowego Jorku w Buffalo, USA; jednocześnie posiada dyplom inżyniera lądowego Państwowego Uniwersytetu Technicznego w Atenach, Grecja (1988). Wcześniej pracował na wydziale Uniwersytetu Notre Dame w stanie Indiana (1992-1996); Uniwersytet Kalifornijski w Berkeley (1996-2005); Uniwersytet w Patras w Grecji (2003-2014) i Uniwersytet Centralnej Florydy (2014-2018). Opublikował ponad 140 prac w czasopismach archiwalnych, był promotorem 16 prac doktorskich i ponad 40 prac magisterskich i dyplomowych V roku. Pełnił funkcję redaktora czasopismaTrzęsienia ziemi i konstrukcje; zastępca redaktora naczelnego Journal of Engineering Mechanics, ASCE i przewodniczący Komitetu ds. Dynamiki w tym samym Dzienniku. Jest członkiem Akademia Europejska „Akademia Europy”, zagraniczny członek Serbska Akademia Nauk i Sztukczłonek Amerykańskie Stowarzyszenie Inżynierów Budownictwa (ASCE) i wybitny Visiting Fellow of the Królewska Akademia Inżynierii, Wielka Brytania; jednocześnie został uhonorowany kilkoma międzynarodowymi nagrodami i wyróżnieniami, w tym m.in Medal George’a W. Housnera za kontrolę strukturalną i monitorowanie i Medal J. Jamesa R. Croesa (dwa razy), oba z ASCE, the Nagroda naukowa w dziedzinie inżynierii lądowej im. Waltera L. Hubera z ASCE, Nagroda TK Hsieha z Instytutu Inżynierów Budownictwa w Wielkiej Brytanii, the Nagroda za innowacyjność rodziny Shah z Instytutu Badań nad Inżynierią Trzęsień Ziemi (EERI) w USA oraz Nagroda KARIERA z Narodowej Fundacji Nauki w USA. W latach 2003-2009 profesor Makris pełnił funkcję dyrektora ds. rekonstrukcji świątyni Zeusa w starożytnej Nemei w Grecji: https://www.youtube.com/watch?v=LsxPSeWS52Q

Profesor Dargushz doświadczeniem w mechanice teoretycznej i obliczeniowej, jest profesorem inżynierii mechanicznej i lotniczej (MAE) na Uniwersytecie w Buffalo (UB) i Uniwersytecie Stanowym Nowego Jorku. Jego badania obejmują mechanikę ciał stałych i płynów, inżynierię konstrukcyjną, optymalizację projektów i fizykę inżynierską, ze szczególnym naciskiem na mechanikę zależną od rozmiaru dla kontinuów submikronowych, dla których był współautorem teorii spójnych naprężeń par (C-CST). Reguluje to układ równań różniczkowych cząstkowych czwartego rzędu, który, co ciekawe, ma strukturę podobną do układu równań różniczkowych 4^t uporządkować teorię Schrodingera mechaniki kwantowej. Inne znaczące prace Dargusha obejmują opracowanie zasad wariacyjnych działania splotowego dla układów dynamicznych, metody elementów brzegowych dla układów wielofizycznych oraz wybitną monografię na temat pasywnych systemów rozpraszania energii do kontroli sejsmicznej konstrukcji. Ogółem jego program badawczy uzyskał wsparcie z grantów NSF, NASA, ONR, General Motors, Daimler-Benz i innych, a jego efektem jest ponad sto pięćdziesiąt artykułów w czasopismach archiwalnych, trzy książki, dwadzieścia siedem rozpraw doktorskich i prawie dziesięć tysięcy cytowań w Google Scholar. Osiem jego doktoratów. studenci zajmują stanowiska wykładowców na uniwersytetach na całym świecie. Ponadto Dargush pełnił funkcję przewodniczącego MAE (2008–2014) oraz prodziekana ds. badań i kształcenia podyplomowego (2014–2017) w Szkole Inżynierii i Nauk Stosowanych na UB.